Conjetura de Goldbach. Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó que: todo número natural mayor que 2 y par es igual a la suma de dos números primos.

He aquí algunos ejemplos:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5

También conocida como la conjetura fuerte de Goldbach ha sido comprobada con la ayuda de las computadoras para los números pares hasta cien millones, pero todavía no ha sido demostrada.

En cambio la conjetura débil de Goldbach la cual afirma que cualquier número mayor que 5 e impar es igual a la suma de tres números primos ha sido demostrada recientemente por el matemático peruano Harald Helfgott.

Conjetura de Fermat. Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó, en 1637, que no existen números enteros que verifiquen la siguiente ecuación para n mayor o igual a 2

Conjetura de fermat

La conjetura de Fermat ha permanecido sin demostrar tres siglos y medio. En junio de 1993, el matemático inglés Andrew Wiles anunció que que había demostrado la conjetura de Fermat. Pero su demostración presentaba algunas lagunas, que tardaron más de un año en resolverse. Finalmente, la conjetura de Fermat ha quedado demostrada, convirtiéndose en el gran teorema de Fermat.

Pequeño teorema de Fermat:

2 maneras de expresarlo:

    • Para cualquier número a y p primo Fermat's little theorem.

Otra manera de expresarlo es:

    • Si p es un número primo, y a coprimo con p entonces Fermat's little theorem 2.

Ejemplo:

Fermat's little theorem example

Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados:

Todo número primo p se puede escribir comoteorema suma de los cuadrados fermat,
donde x e y son números enteros si p=2 o p=1 (mod 4).

teorema suma de los cuadrados fermat ejemplo

{5,13,41} son del estilo 4k+1 o dicho de otro modo son congruentes con 1 mod 4

Teorema de Euler (1736)

Si a y n son coprimos entre si:

teorema de euler es múltiplo de n.

que en el idioma de los elementos Zn es:

teorema de euler 2

donde  es la función de Euler, que cuenta los números comprimos con n hasta n.

Teorema de Mills (1947)

Existe una constante mills que genera   números primos para cualquier n.

Si la hipótesis de Riemann es cierta el valor de la constante es de mills = 1,30637788386308069046….

ya que no se conoce ninguna manera de calcular esta constante y se desconoce si el número racional.

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